如何求二阶微分方程d^2y⼀dx^2=1⼀y的解？

如何求二阶微分方程d^2y/dx^2=1/y的解？

2024-12-02 17:55:41

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回答1：

设 p＝y'＝dy/dx，
则 y²y/dx²＝dp/dx＝(dp/dy) * (dy/dx)
＝pdp/dy，
方程化为 2pdp＝2dy/y，
积分得 p²＝ln(Cy²)，
所以 y'＝±√ln(Cy²)，
分离变量得 dy/±√ln(Cy²) ＝ dx，
再积分即可(感觉思路不对啊。。)

回答2：

解：∵微分方程y''=1/y，化为2y'y''=2y'/y
∴有y'²=lny²+lna²(a为任意非零常数)
y'=±√[ln(a²y²)]，
dy/√[ln(a²y²)]=±dx，方程的通解
x=∫dy/[ln(a²y²)]+c(c为任意常数)