函数y=x^2⼀x^2+1 x∈R的值域是，用换元法解答

解：
设x^2+1=m，代入原方程，有：
y=(m-1)/m
y=1-1/m
可见，值域是：y∈(-∞，1)。
但由于m=x^2+1，所以m∈[1，∞)，
所以，所求值域是：y∈[0，1)。

令a=x^2+1
则a>=1
y=(a-1)/a=1-1/a

a>=1
0<1/a<=1
-1<=-1/a<0
0<=1-1/a<1

值域[0,1)

令x的平方+1=t
则原式y=(t-1)/t=1-1/t x∈R,t∈R ,1/t∈[0,无穷] 所以y∈[负无穷，1]

1)、判别式法。交叉乘，yx^2+y=x^2，yx^2-x^2+y=(y-1)x^2+y=0。视为x的一元二次方程，显然x€R，判别式=0^2-4y(y-1)》0，4y(y-1)《0，y(y-1)《0。零点显然是0、1，则0《y《1。2)、部份分式法。y=[(x^2+1)-1]/(x^2+1)=[(x^2+1)/(x^2+1)]-[1/(x^2+1)]=1-[1/(x^2+1)]。当x=0时，y=1-[1/(0+1)]=1-1=0最小。当x趋于无穷大，x^2+1趋于无穷大，1/(x^2+1)趋于0，y=1-0=1。可见，最小值0是y的实际值，y=1则是极限值。