设函数fx=(1 x)눀-ln(1 x)눀,若关于x的方程fx=x2 x a在区间【1,2】恰有两个实根

你好：

解：（1）函数f（x）=（1+x）²-ln(1+ x)²的导数为：

    f'(x)=2(1+x)-2/(1+x）

    既有f(x)在点（-2,1）处的切线斜率为k=-2+2=0

   则f（x）在点（-2,1）处的切线方程为y=1；

   （2）方程f(x)=x²+x+a,即x-a+1-ln(1+ x)²=0。（（1+x）²-ln(1+ x)²-x²+x+a）

    记g（x）=x-a+1-ln(1+ x)²

   所以g'(x)=1-2/(1+x)=(x-1)/(x+1）

    由g‘（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g‘（x）＜0，得-1＜x＜1

   所以g（x）在［0,1］上递减，在［1，2］上递增

为使f(x)=x+x+a在［0,2］上恰好有两个相异的实根

只须g（x)=0在［0,1］和［1，2］上各有一个实根

• 于是有  g(0)≥0

•              g（1）＜0

•              g（2）≥0

• ∴      -a+1≥0

•         1-a+1-2ln2＜0

•         2-a+1-2ln3≥0

• 解得2-2ln2＜a＜3-2ln3