X服从正态分布 ，为什么 （X1+X2）^2⼀2服从自由度为1的卡方分布 ，求助

x1~N(0,1) x2~N(0,1)

可由公式x1+x2~N( μ1+μ2 , σ1^2 + σ2^2) 得到

x1+x2~N(0,2)

所以依据标准化原理 (x1+x2)/根号2 ~N(0,1)

所以依据卡方分布的特性将其平方，可得 （X1+X2）^2/2服从自由度为1的卡方分布。

若n个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，...,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。

扩展资料

分布曲线

图形特征

集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。

x1~N(0,1) x2~N(0,1)
可由公式x1+x2~N( μ1+μ2 , σ1^2 + σ2^2) 得到
x1+x2~N(0,2)
所以依据标准化原理 (x1+x2)/根号2 ~N(0,1)
所以依据卡方分布的特性将其平方，可得 （X1+X2）^2/2服从自由度为1的卡方分布。

依题意，X1、X2均服从标准正态分布

(X1+X2)/√2服从N（0，1）

相当于只有1个标准正态分布的平方，所以自由度为1的卡方分布