要过程， y=x^2+1⼀x^2的单调区间

2025-05-05 20:35:33

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回答1：

y= x^2+1/x^2定义域为x∈R且x≠0
y= x^2+1/x^2为偶函数，故只需讨论x>0时的单调性，x<0时的单调性与x>0时的单调性相反
以下只在大于零的情况下求解：
令t=x^2，则y=t+1/t
t=x^2在(0，+∞)上单调递增
对y=t+1/t求导：y'=1-1/t^2
y'>0得：t>1
y'<0得：0故y=t+1/t在(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减
又复合函数的“同增异减”原则：
因此，y= x^2+1/x^2在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增
由偶函数性质：y= x^2+1/x^2在(-∞，-1)上单调递减，在(0，1)上单调递增
所以：y= x^2+1/x^2在(-∞，-1)和(0，1)上单调递减，在(-1，0)和(1，+∞)上单调递增