如何证明实对称矩阵A的非零特征值的个数等于它的秩？

2025-03-06 03:53:36

推荐回答（2个）

回答1：

这个结论不依赖于A是否对称，事实上
考虑方程Ax=0=0x，即此方程的解都是属于0特征值的特征向量。
设它的基础解系有k个线性无关的向量，则他们是k个线性无关的属于0的特征向量。从而0特征值有k重，非零特征值有n-k个。
又我们知道k=n-r，其中r为A的秩，从而r=n-k，即A的非零特征值的个数等于A的秩。

回答2：

实对称矩阵A是正规阵 => 存在对角阵D相似于A => rank(D) = 非零对角元（特征值）的个数 => rank(A) = rank(D) = 非零特征值的个数，证毕！