求极限1⼀sqrt(1^2+n^2)+1⼀sqrt(2^2+n^2)+......+1⼀sqrt(n^2+n^2)

您好，这道题可以把要求的极限化为一个定积分来做。过程如下：
lim (n→∞) 1/sqrt(1^2+n^2)+1/sqrt(2^2+n^2)+......+1/sqrt(n^2+n^2)
= lim (n→∞) 1/n*1/sqrt((1/n)^2+1^2) +1/n*1/sqrt((2/n)^2+1^2)+......+1/n*1/sqrt((n/n)^2+1^2)
= lim (n→∞) (1/n-0/n)*1/sqrt((1/n)^2+1^2) +(2/n-1/n)*1/sqrt((2/n)^2+1^2)+......+(n/n-(n-1)/n)*1/sqrt((n/n)^2+1^2)
令f(x)=1/sqrt(x^2+1), a[k]=k/n, 其中k=0,1,2...n-1,n.
则对于k原式=lim (max(a[k+1]-a[k])→0) f(a[1])*(a[1]-a[0])+f(a[2])*(a[2]-a[1])+...+f(a[n])*(a[n]-a[n-1])
根据黎曼积分定义，我们有
原式=∫f(x)dx (下限0，上限1)
=∫1/sqrt(x^2+1)*dx (下限0，上限1)
=arcsinh 1 - arcsinh 0
=ln(1+sqrt(1+1^2))-ln(0+sqrt(1+0^2))
=ln(1+sqrt(2))
所以，题目要求的极限等于ln(1+sqrt(2)).

希望能帮到您。

化极限为定积分的方法与解说如下，点击放大图片：

因为：1/sqrt(n^2+n^2)《1/sqrt(k^2+n^2)《1/sqrt(1^2+n^2)
所以：
n/sqrt(n^2+n^2)《1/sqrt(1^2+n^2)+1/sqrt(2^2+n^2)+......+1/sqrt(n^2+n^2)《n/sqrt(1^2+n^2)
limn/sqrt(n^2+n^2)=limn/sqrt(1^2+n^2)=1
由夹逼定理：lim1/sqrt(1^2+n^2)+1/sqrt(2^2+n^2)+......+1/sqrt(n^2+n^2)=1

integration!!!