高一数学：已知函数f(x)=(1⼀4)^x-3⼀2·(1⼀2)^x+1,求此函数在(0,+∞)上的值域

解：设m=（1/2)^x，则当x∈（0，+∞）时，m∈（0,1）；
∴y=m^2-3m/2+1
=[m-(3/4)]^2+(7/16)
当m=3/4时，y=7/16；
当m=0时，y=1；
当m=1时，m=1/2
∴函数y=(1/4)^2-3/2(1/2)^x+1在（0，+∞）上的值域为（7/16，1)。

见图

设(1/2)^x=t,则(1/4)^x=t²
∵x>0 ∴0∴f(x)=g(t)=t²-3/2t+1=(t-3/4)²+7/16
∵0∴t=1时，g(t)取得最小值7/16
∵g(1)=1/2,g(0)=1
∴函数值域为[7/16,1)

设 t = (1/2)^x ，则 0 < t < 1 (指数函数，底小于1)
f(x)=(1/4)^x-3/2·(1/2)^x+1 = t^2 - 3/2·t+1 = ( t - 3/4)^2 + 7/16
所以 7/16 ≤ f(x) < 1

设1/2∧x=t，0＜t＜1
f（x）=t∧2-3/2 t+1
设g（t）=t∧2-3/2 t+1
g（t）∈[g（3/4），g（0））

g（t）∈[5/16，1）
因为f（x）=g（t）
所以f（x）∈[5/16，1）