高中数学 导数公式证明步骤

　　4. 你的
"Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x"
有笔误，应该是：对函数
　　　y = log_a_x (= lnx/lna)，
有
　　　Δy = log_a_(x+Δx)-log_a_x = log_a_(1+Δx/x) = ln(1+Δx/x)/lna，
而
　　　Δy/Δx = [ln(1+Δx/x)/lna]/Δx= (1/lna)*ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x = (1/xlna)*ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]，
于是，
　　　lim(Δx→0)[Δy/Δx]
　　= [1/(xlna)]*lim(Δx→0)ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]
　　= [1/(xlna)]*lne = 1/(xlna)。
据此，对函数
　　　y = e^ln(x^n) = e^(nlnx)
利用复合函数求导法，可得
　　　y' = e^(nlnx)*(nlnx)' = (x^n)*(n/x) = nx^(n-1)。

　　5. 对 y = sinx，利用三角函数的和差化积公式
　　　Δy = sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)，
　　　Δy/Δx = 2[cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)]/Δx = cos(x+Δx/2)[sin(Δx/2)/(Δx/2)]，
这样，
　　 lim(Δx→0)Δy/Δx = lim(Δx→0)cos(x+Δx/2)*lim(Δx→0)[sin(Δx/2)/(Δx/2)] = cosx*1 = cosx。

loga(x+Δx)/x
=loga(1+Δx/x) 这是将分母上的x放在括号内
=[ xloga(1+Δx/x) ]/x 这是上式的分子分母同乘以x
=loga[(1+Δx/x)^x]/x 这是将对数式前的系数x 放到真数上作为真数的指数

e^nlnx·(nlnx)'
=(e^lnx)^n·(n/x) 前一部分用公式a^(xy)=(a^y)^x，后一部分是求导公式(lnx)'=1/x
=x^n·(n/x) 用的是公式a^(logax)=x