y二阶导数等于y的一阶导数加上x 求解题过程

解

y" = y' + x (0)

y"- y'= x (1)

y"- y'= 0 (2) 特征方程：s^2-s = 0 s1=0 s2=1 (2)的通

y(x) = C1 + C2e^(x) (3) 设(1)的特y1(x) = ax^2+bx (试探法) 

代入(1):2a-2ax-b=x (2a-b)=(1+2a)x a = -1/2 b = -1

y1 = -0.5x^2 - x (4)

(1)的通解为（1）的特解和（2）的通解之和：

y(x) = C1+C2e^(x)-0.5x^2-x (5) 

其中C1、C2由初始条件确定.

拓展资料

二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数，则y’=f‘（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。在图形上，它主要表现函数的凹凸性。

求微分方程 y''=y'+x 的通解
解：齐次方程y''-y'=0的特征方程r²-r=r(r-1)=0的根 r₁=0；r₂=1.
因此齐次方程的通解为 y=c₁+c₂e^x.
设方程 y''-y'=x的特解为 y*=ax²+bx
【此地注意特征方程的根 r₂=1与x的指数 1 相等，且原方程缺 y 的一次项】
y*'=2ax+b；y*''=2a；代入原式得：
2a-2ax-b=-2ax+2a-b=x
故 -2a=1，a=-1/2；2a-b=-1-b=0，∴b=-1;
于是得特解 y*=-(1/2)x²-x.
故原方程的通解为 y=c₁+c₂e^x-(1/2)x²-x.