求这两个微分方程的通解

乱七八糟的答案真多……详细过程rt所示，希望能帮到你解决你心中的问题

先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解
特征方程为2r²+r-1=0
(2r-1)(r+1)=0
r=1/2或r=-1
故通解为Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)
因为1不是特征根，所以设原方程的特解为y*=Ae^x
则y*'=y*''=Ae^x
代入原方程得，2Ae^x=2e^x
A=1
故y*=e^x
所以原方程的通解为y=Y+y*
即y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)+e^x

解：∵微分方程为y''-2y'=(x-1)e^x
∴设y'=u，有y''=u'，方程为
u'-2u=(x-1)e^x，
u'e^(-2x)-2e^(-2x)u=(x-1)e^(-x)，
[ue^(-2x)]'=(x-1)e^(-x)，
ue^(-2x)=-xe^(-x)+2c(c为任意常数)
∴u=-xe^x+ce^2x，y'=2ce^2x-xe^x 方程的通解为 y=ce^2x-xe^x+e^x+
a(a为任意常数)
解：∵微分方程为y''-y'=x²+4x
∴设方程的特征值为p，有p²-p=0，
p=0或1 ∴方程的特征根为e^x、1
∵方程的右式为x²+4x
∴设方程的特解为y=ax²+bx+c，
有y''=2a，2a-(ax²+bx+c)≡x²+4x 2a-c=0，-a=1，-b=4
∴方程的特解为-x²-4x-2
∴方程的通解为y=Ae^x-x²-4x-C