求函数y=-sinx⼀(2-cosx) (0<x<π)的最小值

0

sinx>0,cosx-2<0

所以y=-sinx/(2-cosx) =sinx/(cosx-2) <0

y(cosx-2)=sinx

-ycosx+sinx=-2y

√(y^2+1)*cos(x+t)=-2y

cos(x+t)=-2y/√(y^2+1)

|-2y/√(y^2+1)|<=1

4y^2/(y^2+1)<=1

4y^2<=(y^2+1)

y^2<=1/3

-√3/3<=y<0  （y<0见第一步）

所以y|min=-√3/3

另一种用解析几何的方法：

y=-sinx/(2-cosx)=(sinx-0)/(cosx-2)

y的几何意义表示：动点(cosx,sinx)与定点(2,0)连线的斜率。

动点(cosx,sinx)因为sin²x+cos²x=1的原因，所以就是单位圆上的点

因为x的取值 (0

只有当连线在切线位置，斜率才取得最小值。

如有下半圆，则另一条切线位置斜率取得最大值。

y=-sinx/(2-cosx)=sinx/(cosx-2)看成两点（cosx，sinx），（2，0）的斜率的最小值
(cosx，sinx）是一个以1为半径，原点为圆心上的点
因为0所以（cosx，sinx）是只是这个圆上半圆上的点
x=30°时，最小值√3

对y求导,得y′=1-2cosX,另y′=0,解得cosX=1/2,∴X=π/3,检验可知导函数图像在π/3处左负右正,
∴X=π/3时,y=-√3/3,为最小值