大学物理问题。

设剪断线后，经时间 t 时，浸没在液体中的棒长度是 X ，此时速度是 V ，棒的横截面积是S
则　mg－ρ`* g S* X＝m dV / dt　　（牛二），其中，m＝ρSL
而　V＝dX / dt
所以　－ρ`* g S* V＝m * d²V / dt²
即　d²V / dt²＋（ρ`* g S* V / m）＝0
上式为二阶微分方程，它的通解是　V＝A * sin ｛[根号（ρ`* g S / m）] * t ＋Φ }　　（A、Φ待定）
由初始条件：t＝0时，V＝0，得　Φ＝0
所以　V＝A * sin ｛[根号（ρ`* g S / m）] * t }　　　　（系数A待定）
那么　dV / dt＝{ A* [ 根号（ρ`* g S / m）] } * cos { [根号（ρ`* g S / m）] * t }

注意到，在 t＝0时，X＝0，dV / dt＝g
所以　g＝{ A* [ 根号（ρ`* g S / m）] } * cos { [根号（ρ`* g S / m）] * t }
得　系数　A＝g / [ 根号（ρ`* g S / m）]＝根号[ mg / ( ρ`* S) ]
即　V＝{ 根号[ mg / ( ρ`* S) ] } * sin ｛[根号（ρ`* g S / m）] * t }

又由　V＝dX / dt 　得
dX / dt＝{ 根号[ mg / ( ρ`* S) ] } * sin ｛[根号（ρ`* g S / m）] * t }

所以　X＝－[ m / ( ρ`*S) ] * cos｛[根号（ρ`* g S / m）] * t }＋C
由初始条件：t＝0　时，X＝0　得　C＝m / ( ρ`*S)
即　X＝[ m / ( ρ`*S)] * 《 1－cos｛[ 根号（ρ`* g S / m）] * t } 》

可见，V＝{ 根号[ mg / ( ρ`* S) ] } * 根号《1－｛1－[ ( ρ`*S)* X / m ] }^2 》
　　　　＝ { 根号[ g / (m ρ`* S) ] } * 根号 [ m^2－( m－ ρ`*S* X )^2 ]

当棒恰好全部浸入液体中时，X＝L
所以这时棒的速度是　V＝ { 根号[ g / (m ρ`* S) ] } * 根号 [ m^2－( m－ ρ`*S* L )^2 ]
将质量　m＝ρSL　代入上式，得所求速度是　

　V＝根号[ ( 2* ρ* ρ`－ρ`^2 ) g L / ( ρ* ρ`) ]