13问答网 > 求幂级数∑（n=1,∞) Z^n⼀n^2的收敛半径即区间n=1至∞，n的平方分之一，乘以z的n次方的收敛半径。

求幂级数∑（n=1,∞) Z^n⼀n^2的收敛半径即区间n=1至∞，n的平方分之一，乘以z的n次方的收敛半径。

2025-05-05 10:26:32

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回答1：

可以用D'Alembert比值判别法.
a[n] = 1/n², a[n+1] = 1/(n+1)², 因此a[n+1]/a[n] → 1.
对z ≠ 0, a[n+1]·z^(n+1)/(a[n]·z^n) → z.
故级数∑{1 ≤ n} z^n/n² = ∑{1 ≤ n} a[n]·z^n在|z| < 1时收敛, |z| > 1时发散.
收敛半径为1.

如果学过收敛半径的Cauchy-Hadamard公式: 1/R = limsup{n→∞} |a[n]|^(1/n),
可直接由lim{n→∞} n^(1/n) = 1得到结论.

求幂级数∑（n=1,∞) Z^n⼀n^2的收敛半径 即区间n=1至∞，n的平方分之一，乘以z的n次方的收敛半径。

求幂级数∑（n=1,∞) Z^n⼀n^2的收敛半径即区间n=1至∞，n的平方分之一，乘以z的n次方的收敛半径。