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设f(x)在[a,b]上处处可微,f✀(x)在[a,b]上有界变差,求证:f✀(x)在[a,b]上连续

2025-02-26 16:58:58

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回答1：

主要用两个结论:
1. 若f(x)处处可导, 则f'(x)没有第一类间断点.
2. 有界变差函数的间断点都是第一类间断点.
综合二者即知f'(x)没有间断点, 即连续.

至于1的证明, 可以用Lagrange中值定理(或L'Hospital法则)证明:
若lim{x→a+} f'(x)存在, 则等于f'(a+) (右导数).
同理, lim{x→a-} f'(x)存在, 则等于f'(a-).
由f'(a-) = f'(a) = f'(a+)即知f'(x)在x = a处连续.
因此f'(x)没有第一类间断点.

2是因为有界变差函数可以表为两个单调函数之差, 而单调函数的间断点都是第一类间断点.