古人做官，是否都较孝顺？

基本是这样，但对于平民阶层限制较多。
战国之前，官员（非职事官）任职主要是世袭，即所谓“世卿世禄制”。
李悝改革后，开始实行依军功授爵（此时还是职爵一体、文武一体），商鞅改革后军功爵制逐渐盛行。
汉武帝时察举制成为选才的主要方式，此外还有征辟，即征召社会上有名望之人，这两种可以说是你指的推荐，此外还有荫官，东汉时察举制成为定制，改为一年一次。
魏文帝试行九品中正制，由中央派人到各个地方担任中正官，对当地人定品，只有获得品级的人才有资格备选，消除了察举制的弊端（此后的变异偏离了制度设计者的初衷），此制度的终结以炀帝设立进士科截止，其后逐层考试之制逐渐成为定制。
此外，历朝历代还设有国家学府（名称不一），学生考试合格之后也会授官。在科举制实行之后，察举制也并未完全废除，只是不再是主要的选才渠道。
古代，父母死后，子女按礼须持丧三年，其间不得行婚嫁之事，不预吉庆之典，任官者并须离职，称"丁忧"。源于汉代，在汉末丁忧去官很通行，非但是父母三年之丧要丁忧，就是兄弟姊妹期功服之丧也要丁忧。陶渊明诗有说及奔妹丧的，潘安仁《悼亡诗》也有说及奔丧的，可见丁忧之风在那是很盛。唐时此风渐息。宋代，由太常礼院掌其事，凡官员有父母丧，须报请解官，承重孙如父已先亡，也须解官，服满后起复。西汉时规定在朝廷供职人员丁忧(离职)三年，至东汉时，丁忧制度已盛行。此后历代均有规定，且品官丁忧，若匿而不报，一经查出，将受到惩处。但朝廷根据需要，不许在职官员丁忧守制，称夺情，或有的守制未满，而应朝廷之召出来应职者，称起复。到明代把它定在律令，除了父母丧不必去官。
所以可以变通，有能力，被需要的人可以不用。

百善孝为先，古代做官非常讲究德行，德行有亏等于直接给政治对手送人头。你私下再怎么缺德都是小事，但基本的忠孝节悌还是要遵守的，如果你被人弹劾不孝，那基本可以宣告政治生涯凉凉了，一生都别想做官了。至于守孝，并不是说完全辞官，虽然现任的官职没了，但守孝结束还是可以继续担任其他职位的，这一点上朝廷还是比较人性化的。