解：根据题意，结合正棱锥的结构特征，依次分析4个命题可得：
对于（1）、如图：三棱锥A-BCD中，AB=AC=b，AD=CD=BC=BD=a，其每个侧面是等腰三角形，但不是正三棱锥，故（1）错误；
对于（2）、对于正三棱锥，底面必须是正三角形，故（2）错误；
对于（3）、对于正三棱锥，三条侧棱长必须相等，故（3）错误，
对于（4）、该棱锥的底面多边形的内心与外心重合，则其底面为正多边形，则其内心（外心）为底面多边形的中心，则顶点在底面上的射影是底面多边形的中心，符合棱锥的定义，故（4）正确．
只有一个命题正确；
故选A．
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