高手接题，高三文科数学。不会莫进。我有难题

21：定义域：a=0时，R；a≠0时，x>0
（I)f'(x)=1-a/x=(x-a)/x,
a>0：x≥a时，分子分母都是正数，f'(x)≥0,单调递增；0a=0：f(x)=x-1,直线，斜率k=1>0，单调递增；
a<0：x>0，分子分母都是正数，f'(x)>0,单调递增。
（II）x>0,f(x)=x-1-alnx≥0,
如果a=0，x-1>0,对于0~1间的x值不满足，因此a≠0；

alnx
x>1时:
a<(x-1)/lnx,右边分子分母都是正数，因此a<0时，总成立；
a>0时，(1/a)>lnx/(x-1)=y,y'=1/x(x-1)-(lnx)/(x-1)^2=[(x-1)/x-lnx]/(x-1)^2=0
y'=0时，(x-1)/x-lnx=0,lnx=(x-1)/x=1-1/x,0<1-1/x<1,x=1是lnx与1-1/x的一个交点。
该点，应用洛必达法则，y->1/x=1.
(lnx)'=1/x=1,(1-1/x)'=1/x^2=1,两曲线相切。
(lnx)''=-1/x^2<0,lnx向下凹；(1-1/x)''=-2/x^3<0,(1-1/x)也是向下凹。
(1-1/x-lnx)'=1/x^2-1/x=(1-x)/x^2<0,（1-1/x）-lnx是减函数，只有一个0点，就是x=1。x>1时，1-1/x-lnx<0,y'<0,y是减函数，x->+∞时，y有最小值,用洛必达法则，1/a->1/x->0,
∴y∈(0,1),1/a≥1,a≤1，就有，1/a>y成立，因此：
a<0U0
x=1时：

f(1)=1-1-aln1=0,
a可以是任何实数值，a∈R

0
lnx<0,
a>(x-1)/lnx,右边，分子<0,分母<0,为正数。因此a>0
设z=(x-1)/lnx，(1/z)=lnx/(x-1),(1/z)'=[(x-1)/x-lnx]/(x-1)^2
设w=(x-1)/x-lnx=1-1/x-lnx,w'=1/x^2-1/x=(1-x)/x^2>0,w是增函数。
x->1,w->1-1-0=0,是最大值，因此，w<0,（1/z)'<0,(1/z)是减函数,z是增函数。
x->0,z的分子->-1,分母->-∞，z->0;
x->1,应用罗比达法则，z->1/(1/x)=x=1;
z∈(0,1)，a≥1，则a>z=(x-1)/lnx恒成立
因此a≥1

综合以上结果，a=1
验证：

f(x)=x-1-lnx,f'(x)=1-1/x,f''(x)=1/x^2>0,f(x)向上凹有极小值。x=1时，f'(1)=0,f(1)=0,是极小值。因此，f(x)≥0恒成立。

另一解法：

一般情形，f(x)=x-1-alnx,f'(x)=1-a/x,f''(x)=a/x^2,
a>0时：

f''(x)>0，f(x)向上凹，有极小值，1-a/x=0,x=a时有极小值，f(a)=a-1-alna≥0
f'(a)=1-lna-1=-lna,f''(a)=-1/a<0,f(a)向下凹，有极大值，a=1时，f'(a)=0,f(a)有极大值=f(1)=1-1-1ln1=0,因此，只有a=1满足题意。

a=0：

如前分析，f(x)=x-1,x<1时不满足题意。

a<0:
f''(x)<0,f(x)向下凹，有极大值，f'(x)是减函数，
x=a时，f‘(x)=0,f(x)最大=f(a)=a-1-alna,无解。
x>0>a,位于顶点右边，f‘(x)=1-a/x>0,f(x)是增函数，x->0，最小值f(x)=x-1-alnx->-1-alnx,lnx->-∞，-a>0，后项->-∞,f(x)->-∞,f(x)≥0不能恒成立。无解。

综合得，a=1
（III）
k=(y2-y1)/(x2-x1)=[(x2-1-alnx2)-(x1-1-alnx1)]/(x2-x1)
=[(x2-x1)-aln(x2/x1)]/(x2-x1)
=1-aln(x2/x1)/(x2-x1)
f'(x0)=f'(x)=1-a/x0=1-a/[(x1+x2)/2]=1-2a/(x1+x2)
k>f'(x0):
1-aln(x2/x1)/(x2-x1)>1-2a/(x1+x2)
a[2/(x1+x2)-ln(x2/x1)/(x2-x1)]>0
a[1/x0-ln(x2/x1)/(x2-x1)]>0
0下面要证明，2/(x1+x2)-ln(x2/x1)/(x2-x1)<0
设t=2/[x1(1+x2/x1)]-ln(x2/x1)/[x1(x2/x1-1)]
=(1/x1)[2/(1+x2/x1)-ln(x2/x1)/(x2/x1-1)]
设s=x2/x1>1
代入得
t=(1/x1)[2/(1+s)-lns/(s-1)]
第一项为正数，
2/(1+s)-lns/(s-1)<0
2/(1+s)2(s-1)/(s+1)2(s+1-2)/(s+1)=2-4/(s+1)2-4/(s+1)-lns<0
设r=2-4/(s+1)-lns
r'=4/(s+1)^2-1/s=[4s-(s+1)^2]/[s(s+1)^2]=[4s-s^2-2s-1]/[s(s+1)^2]=-(s-1)^2/[s(s+1)^2]<0
r是减函数
s->1时有极大值，r=2-4/(1+1)-ln1=0,
因此s>1时，r<0成立。
以上各步都是可逆的，因此

2/(x1+x2)-ln(x2/x1)/(x2-x1)<0成立
a[1/x0-ln(x2/x1)/(x2-x1)]>0
因此a<0

19:看不清
f(x)=ax^2/3+(a-2)x+c,有极小值，是开口向上的抛物线，a>0,
极小值在顶点处获得：x=-(a-2)/[2a/3]=1,-(a-2)=2a/3,-3a+6=2a,6=5a,a=6/5
f(0)=c=3
(I)f(x)=2x^2/5-4x/5+3=(2x^2-4x+15)/5
(II)f'(x)=(4x-4)/5=4(x-1)/5
g(x)=kf'(x)/x-2lnx=4k(x-1)/5x-2lnx=(4k/5)(1-1/x)-2lnx
定义域，x>0,x≠0，g(x)是增函数，
g'(x)=(4k/5)(1/x^2)-2/x=4k/5x^2-2/x=(4k-10x)/5x^2>0
4k-10x>0
k>5x/2
x->+∞，k是常数，无解

如果f(x)=ax^3/3+(a-2)x+c，f’(x)=ax^2+(a-2),
x=1时有极小值：

f'(1)=0，a+a-2=0,a=1
f''(x)=2ax,f''(1)=2>0向上凹，该处有极小值。
f(0)=c=3
(I)f(x)=x^3/3-x+3
f'(x)=x^2-1
g(x)=kf'(x)/x-2lnx=k(x-1/x)-2lnx
定义域x>0
g(x)是增函数：
g'(x)=k(1+1/x^2)-2/x=k(x^2+1)/x^2-2/x=(kx^2-2x+k)/x^2>0
kx^2-2x+k>0
k(x^2-2x/k+1/k^2+1-1/k^2)=k[(x-1/k)^2+(1-1/k^2)]>0
k>0时：(x-1/k)^2+(1-1/k^2)>0,1-1/k^2>0,k^2<1,k<1,0k<0时：(x-1/k)^2+(1-1/k^2)<0，前一项在x->+∞时趋近于+∞，后一项是常数，不可能恒成立。

∴0

come on 骚年

我是老师，

题嘞？？？