椭圆标准方程怎样化为成极坐标下的方程

x=ρcosθ，

y=ρsinθ，

代入标准方程x²/a²+y²/b²=1，

得到：

ρ²(b²cos²θ+a²sin²θ)=a²b²

b²(1+cos2θ)+a²(1-cos2θ)=2a²b²/ρ²

(a²+b²)+(b²-a²)cos2θ=2a²b²/ρ²

扩展资料：

其他定义

根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴（事实上只要是直径都可以）两端点连线的斜率之积是定值，定值为

 （前提是长轴平行于x轴。若长轴平行于y轴，比如焦点在y轴上的椭圆，可以得到斜率之积为 -a²/b²=1/（e²-1）），可以得出：

在坐标轴内，动点（

 ）到两定点（

 ）（

 ）的斜率乘积等于常数m（-1

注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以

无法取到，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。

椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。

椭圆的直角坐标系方程是x²/a²+y²/b²=1，原心O在中心，若采用极坐标系(r,θ):
一、直接用标准的极坐标椭圆方程 。较简单，但这方程的原点在两焦点，而不是中心。
椭圆的标准(r,θ)极坐标 r (1±ecosθ)=Ra 。Ra是长轴两端的曲率半径 Ra=b²/a,
e是偏心率 e=c/a。+表示 以椭圆右焦点为极坐标系圆点O，-号表示左焦点。
二、可直接转换，但方程非标准。
直角坐标系(x,y) 化极坐标系(r,θ)，很简单，只要把 x=r cosθ，y=r sinθ代入直角坐标系方程即可。
代入x²/a²+y²/b²=1， 有 cos²θ/a²+sin²θ/b²=1/r²。这就是椭圆的(r,θ)极坐标方程，椭圆中心就是极坐标的原点。

x=ρcosθ，
y=ρsinθ，
代入标准方程x²/a²+y²/b²=1，
得到：
ρ²(b²cos²θ+a²sin²θ)=a²b²
b²(1+cos2θ)+a²(1-cos2θ)=2a²b²/ρ²
(a²+b²)+(b²-a²)cos2θ=2a²b²/ρ²

利用参数方程：x=acosθ ， y=bsinθ

记x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入标准方程x²/a²+y²/b²=1，得到：
ρ²(b²cos²θ+a²sin²θ)=a²b²
b²(1+cos2θ)+a²(1-cos2θ)=2a²b²/ρ²
(a²+b²)+(b²-a²)cos2θ=2a²b²/ρ²