解:t=0-时,电路处于稳态,电容相当于开路。
将0.5i1的受控电流源并联2Ω电阻、等效为2×0.5i1=i1的受控电压源,串联2Ω电阻,受控电压源极性为右正左负。
此时2Ω、3Ω和3Ω电阻串联,设其电流为I,方向向右,则18V电压源的电流为(I+i1),方向向右。
根据支路电流法:
左边回路:1×(I+i1)+2×i1=8,I+3i1=18;
右边回路:(2+3+3)×I-2i1=i1,8I=3i1。
解得:I=2(A)。因此,Uc(0-)=(3+3)×I=6×2=12(V)。
t=0+时电容电压不会突变,故Uc(0+)=Uc(0-)=12V。相当于一个电压源。如图左:
显然,竖直的3Ω电阻被短接,水平的3Ω电阻电流即为i(0+)=12/3=4(A)。
t=∞时,电容相当于开路,等效电路如右图。
(2+3)×i(∞)=i1+2i1,i(∞)=3i1/5=0.6i1。
因此,11Ω电阻电流为:i1+i(∞)=1.6i1。1.6i1×1+2i1=18,i1=5(A)。
所以:i(∞)=0.6i1=0.6×5=3(A)。
求时间常数τ,先求Req。如下图。
将电压源短路,从电容断开处外加电压U0,设从正端流入电流为I0。
竖直2Ω电压为2i1,则1Ω电阻电流为2i1,方向向下;水平2Ω电阻电流为i+2i1=3i1,方向向左。3Ω电阻电流为U0/3。
故:(i1+2i1)+U0/3=I0,3i1+U0/3=I0。
同时:2×3i1+i1+2i1=U0,U0=9i1。
综合:Req=U0/I0=3/2=1.5(Ω)。
所以:τ=1/(Req×C)=1/(1.5×2)=1/3(s)。
三要素法:f(t)=f(∞)+[f(0+)-f(∞)]e^(-t/τ)。
i(t)=3+(4-3)e^(-t/(1/3))=3+e^(-3t) A。
同时:i(t)=3[1-e^(-3t)]+4e^(-3t)。
故零输入响应为:ix(t)=4e^(-3t)A,零状态响应为:if(t)=3[1-e^(-3t)] A。