线性同余方程的求解（逆模）过程中某一步推理的依据

3x==4 mod 7
解一
乘以-2得-6x==-8 mod 7
因为-6x==x mod 7
依下面所讲到的同余式的传递性，即有：
-6x==-8==x mod 7
即x==-8==-1==6 mod 7
解二：
3x==4==-3 mod 7
据下面讲到的消去律得x==-1 mod 7 ==6 mod 7

下面是我最近的一个答题内容。供参考。
1。同余号的性质。
(0)在同余式两侧，与各个平行的加号平行的那个等号，可以换成同余号。
如a=b, 则对于任何模m, a==b mod m.
(1)等价性。反身性(自对称性)，互反性(互对称性)，传递性(滑移对称性)。
即a==a; a==b则b==a; a==b,b==c，则a==c, 或写作a==b==c.
等号，同余号，对应于相等关系，同余关系，均为等价关系。具有上面三类性质。

2。等价式的性质。即同余式类似于等式的性质。
(1)同时乘以一组等价项之一，或除以一组非零的等价项之一，同余式成立。
如a==b mod m , A ==B mod m
则aA==bB mod m.
其中非零项这样解释，若a不==0 mod m，则a为非零项。
　　　　　　　　外一则，反一则：0==mk mod m, 零项就是形如mk这样的项。
这个性质有几个重要的特例。
(11)消去律。
对于ax==ab mod m, 如a不==0 mod m, 则x==b mod m.
(12)取负或取幂的情况。
(121)取倒数的情况。例如3x ==1 mod 16，那么x称为模16之下，3的同余倒数，或称同余逆，或模逆，或乘率。洪伯阳先生推荐写成：x==1/3 mod 16. == 5 mod 16.
(2)同时加减一组等价项之一，同余式仍成立。
其中有一个情况要注意，0==mk mod 0，因此 mk这样的项，可以任意地在与==同级的整体项或任意部分项上，任意添加或删减。

2。模的性质。
a==b mod m
这个mod m，实际就是一个可以在同余式的同余号==两侧平行移动的一个代数和项，即是
m的一个任意整数倍数，只要晓得它是存在的就行，不必计较它对于m的倍数的大小与正负，不必计较是加法还是减法，只要知道是代数和的形式就行。
在此理解下，同余式是一种更自由的不定方程而已，并且与不定方程是完全可以等价的，只是我们的着眼的关键点在于a与b二者，相对于模m的滑移对称性。而模m这个东东，这个m的不定倍数，就是一个自由变化的绳圈，将a,b和诸如此类的珠子串起来了而已。

3。心法。
简单的同余式，可以按我上面的举例，注意不要拘泥于正负号。
复杂的同余式，将它作为等式或比例式，使用比例式的性质，分数的性质，利用洪伯阳方法来解。
网上可搜 wsktuuyth 洪伯阳方法。
举例：
13x==5 mod 23
x==5/13==10/26==10/3==33/3==11 mod 13

5x==13 mod 23
x==13/5==65/25==65/2==42/2==21 mod 23
或 x==13/5==2+3/5==2-20/5=2-4=-2==21 mod 23

也可以用不定方程来解。对于不定方程，我也提出了一种个人认为很是巧妙的方法，
这种方法的过程，恰好表现的同余式与不定方程的等效性，并互为利用。将二者的形式统而为一，十分简明。以下是我在百度答题与博文中提到的不定方程解法，可搜索
wsktuuytyh 不定方程
或
wsktuuytyh 同余式可以这样解
得到。
其中wsktuuytyh是我的百度账号，来自于我的现用名字 的五笔编码。
wsk 何 tuu 冬 ytyh 州
当然了解了其中的过程之后，可以用来尝试解不定方程
13x=5+23y
及
5x=13+23y
这样就是利用不定方程来解同余式。

举例：
47x=89+111y
两边mod 47，或者说将47的倍数集中，得
47a==-5+17y (两式相减知x-a=2+2y)
同理mod17得，
-4a==-5+17b （两式相减知 3a=y-b)
取b=1,顺次逆求：a=-3, y=-8, x=2-16-3=-17==94 mod 111