已知函数f(x)=x^3+3ax^2+3x+1, 若x∈[2,∞)时，f(x)≥0求a的取值范围

x∈[2,∞)，f(x)≥0，即x³+3ax²+3x+1>=0，即x+3/x+1/x²>=-3a
即x∈[2,∞)时，-3a<=x+3/x+1/x²恒成立，求x+3/x+1/x²在[2,∞)的最小值即可。
令g(x)=x+3/x+1/x²
g'(x)=1-3/x²-2/x³=(x³-3x-2)/x³
下面我们证g'(x)>=0在x∈[2,∞)恒成立，也即x³-3x-2>=0在x∈[2,∞)恒成立。
令h(x)=x³-3x-2;
h'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，易知h'(x)>0在x∈[2,∞)恒成立，所以g(x)在x∈[2,∞)为增函数，所以h(x)>=h(2)=0，也就是x³-3x-2>=0在x∈[2,∞)恒成立，
也即g'(x)>=0在x∈[2,∞)恒成立，g(x)在x∈[2,∞)为增函数，
所以g(x)的最小值为g(2)=15/4，
所以-3a<=(2)=15/4，
得a>=-5/4

f'(x)=3x^2+6ax+3

1. 当△《0   4a^2-4<=0    -1《a《1
   

f(x)为单调增函数

f(2)》0即可  即 8+12a+6+1>=0    a>=-5/4

综合 即-1《a《1

 2.△>0 ,且X1+X2=-2a=<0 时

f(x)在x>=2是单调递增，

f(2)》0即可  即 8+12a+6+1>=0    a>=-5/4

即a>1

3.△>0 ,且X1+X2=-2a>0 (X1

解出a>=-5/4  f(2)>=0

综合为-5/4<=a<=-1

4..△>0 ,且X1+X2=-2a>0 (X12

最小值为f(X2)>=0

这个你自己解吧