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一个简单的数列问题已知Sn=n（a1+an）⼀2，求证为等差数列

2025-03-04 03:15:19

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回答1：

sn=n(a1+an)/2
s（n-1）=（n-1）(a1+a（n-1）)/2
两式作差得：a1+（n-2）an-（n-1）a（n-1）=0①
再递推一次：a1+（n-3）a（n-1）-（n-2）a（n-2）=0 ②
①-②，得：an+a（n-2）=2a（n-1），这就是等差数列的基本形式。

回答2：

S(n-1)=n（a1+a(n-1)）/2
Sn=n（a1+an）/2
以上两式相减:a1+（n-2）an-（n-1）a（n-1）=0 一式
同理a1+（n-3）a（n-1）-（n-2）a（n-2）=0 二式
一式减二式 an+a（n-2）=2a（n-1)
an+a（n-2）=2a（n-1)为等差数列的特征