设函数 f(x)=ax+ 1 x+b (a，b∈Z) ，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．（Ⅰ）

2025-04-28 07:32:03

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回答1：

（Ⅰ） f′(x)=a-

(x+b) 2

，
于是

2a+

2+b

(2+b) 2

解得

a=1

b=-1

或

b=-

因a，b∈Z，故 f(x)=x+

x-1

．
（Ⅱ）证明：已知函数y₁ =x， y 2 =

都是奇函数．
所以函数 g(x)=x+

也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．
而 f(x)=x-1+

x-1

+1 ．可知，函数g（x）的图象按向量a=（1，1）平移，即得到函数f（x）的图象，
故函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点 ( x 0 ， x 0 +

x 0 -1

) ．
由 f′( x 0 )=1-

( x 0 -1) 2

知，过此点的切线方程为 y-

- x 0 +1

x 0 -1

=[1-

( x 0 -1) 2

](x- x 0 ) ．
令x=1得 y=

x 0 +1

x 0 -1

，切线与直线x=1交点为 (1，

x 0 +1

x 0 -1

) ．
令y=x得y=2x₀ -1，切线与直线y=x交点为（2x₀ -1，2x₀ -1）．
直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．
从而所围三角形的面积为

x 0 +1

x 0 -1

-1||2 x 0 -1-1|=

x 0 -1

||2 x 0 -2|=2 ．
所以，所围三角形的面积为定值2．