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已知x,y,z都属于（0，1），求证x(1-y),y(1-z),z(1-x)不能都大于1⼀4

2025-02-25 09:00:36

推荐回答（3个）

回答1：

证明：由均值不等式可得
x(1-y) ≤ (x-y+1)^2/4
y(1-z) ≤ (y-z+1)^2/4
z(1-x) ≤ (z-x+1)^2/4
若令x=y=z,则三个式子都等于1/4，满足题意
若令x>y>z,则有x-y>0,y-z>0,z-x<0,则第三式就必小于1/4
同理令y>z>x,或z>y>x等情况，将必在
x-y,y-z,z-x中出现一个式子小于0，即必在
x(1-y),y(1-z),z(1-x)中出现一个式子小于1/4
综上所述:x(1-y),y(1-z),z(1-x)不能都大于1/4

回答2：

= = 郁闷解出来突然发现楼主不是美女...

....真不想告诉你~~

提醒你下用反证法~

或许有更高明的方法..但是我是用反证法做出来的...

回答3：

如果它们都大于1/4，那么全部相乘就大于1/64
但是x(1-x)最大时就是1/4
三者乘积小于等于1/64。
所以就矛盾，
原命题成立