13问答网 > 在三角形ABC中，a，b，c对的角分别是A、B、C，S是三角形面积,求证a^2+b^2+c^2>=4根号3倍S

在三角形ABC中，a，b，c对的角分别是A、B、C，S是三角形面积,求证a^2+b^2+c^2>=4根号3倍S

2025-03-01 08:41:23

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回答1：

余弦定理：c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
求和公式：sin(α+β)=sinα*cosβ+sinβ*cosα
S=1/2*ab*sinC
a^2+b^2+c^2-4√3S
=2(a^2+b^2)-4ab(√3/2*sinC+1/2*cosC)
=2[(a^2+b^2)-2ab*sin(C+60°)]
a^2+b^2>=2ab (a=b等号成立)
sin(C+60°)>=1 (C=30°等号成立)
a^2+b^2+c^2-4√3S>=0 (a=b,C=30°等号成立)
a^2+b^2+c^2>=4√3S (a=b,C=30°等号成立)