高等数学数列求极限问题

1/2=lim[n(n+1)/2]/(n^2+2n)
=lim(1+2+……+n)/(n^2+2n)
[1/(n^2+n+1)+2/(n^2+n+2)+……+n/(n^2+n+n)]
(1+2+……+n)/(n^2+n)
=lim[n(n+1)/2]/(n^2+n)
=1/2
所以 lim[1/(n^2+n+1)+2/(n^2+n+2)+……+n/(n^2+n+n)]

找分母，左边分母取最大的，右边最小的。
再从1～n求和

因为 n²+n+1 ≤ n²+n+k ≤ n²+n+n，那么就有：
1/(n²+n+1) ≥ 1/(n²+n+k) ≥ 1/(n²+n+n)
那么，可以得到：
∑k/(n²+n+1) ≥ ∑k/(n²+n+k) ≥∑k/(n²+n+n)
因为：
∑k/(n²+n+1) = [n(n+1)/2]/(n²+n+1)
= 1/2 * (n²+n)/(n²+n+1)
= 1/2 * (1+1/n)/(1+1/n+1/n²)
∑k/(n²+n+n) = [n(n+1)/2]/(n²+n+n)
= 1/2 * (n²+n)/(n²+2n)
= 1/2 * (1+1/n)/(1+2/n)
又因为：
lim∑k/(n²+n+1) = lim [1/2 * (1+1/n)/(1+1/n+1/n²)] = 1/2
lim∑k/(n²+n+n) = lim [1/2 * (1+1/n)/(1+2/n)] = 1/2
既然这两个数列的极限都等于 1/2，那么，介于两个数列和之间的数列和的极限：
lim∑k/(n²+n+k) = 1/2

构思过程是，①原式=lim(n→∞)∑ak，其中ak=k/(n²+n+k)，k=1,2，……，n。
②当1≤k≤n时，n²+n+1≤n²+n+k≤n²+n+n，∴k/(n²+n+n)≤k/(n²+n+k)≤k/(n²+n+1)。
③应用夹逼定理易得，原式=1/2。
供参考。