设a大于0,f(X)=e^(x)⼀a+a⼀e^(x)在R上满足f(-x)=f(x).(1)求a的值。

f(x)=f(-x)
得(e^x)/a+a/(e^x)=e^(-x)/a+a/[(e^(-x))]
(e^x)/a+a/(e^x)=1/（ae^x)+ae^x
即(e^x)(1/a-a)+(a-1/a)/(e^x)=0
(a-1/a)[1/(e^x)-e^x]=0
由于x的任意性，只有a-1/a=0
即a^2-1=0
由a>0,故a=1.
接下来证明f(x)=e^x+1/(e^x)为增函数
设x2>x1>0,
s=e^(x2)
t=e^(x1)
则s>t,s>1,t>1.
f(x2)-f(x1)
=s+1/s-t-1/t
=(s-t)+(t-s)/st
=(s-t)(1-1/st)
由于s>1,t>1,则1-1/st>0
因此f(x2)-f(x1)>0
故为增函数

(1)由偶函数可得
f(-x)=e^(-x)/a+a/e^(-x)=1/(ae^x)+a*e^x=f(x)=e^x/a+a/e^x
比较 1/e^x和e^x的系数可得
a=1或a=-1,由a>0的条件a=1

所以f(x)=1/e^x+e^x

(2)
f'(x)=-e^(-x)+e^x
由x属于（0，+∞），此时，e^x>=e^(-x)
所以f'(x)>0
所以f(x)在（0，+∞）上为增函数。

f(X)=e^(x)/a+a/e^(x)
f(-X)=e^(-x)/a+a/e^(-x)=1/（ae^(x)）+ae^(x)
因为f(-x)=f(x)，所以a=1/a
a大于0,所以a=1