13问答网 > 设f(x),g(x)在［a,b］上可导，且g✀(x)≠0.证明在a,b内至少有一点ξ使(接补充)

设f(x),g(x)在［a,b］上可导，且g✀(x)≠0.证明在a,b内至少有一点ξ使(接补充)

［f(a)-f(ξ)］/［g(ξ)-g(b)］=f✀(ξ)/g✀(ξ)

2025-04-27 20:37:03

推荐回答（3个）

回答1：

构造函数F(x)=[f(a)-f(x)][g(x)-g(b)].
则易知：F(a)=F(b)=0,所以存在一点ζ∈(a,b)满足F′(ζ)=0.
即：[f(a)-f(ζ)]g′(ζ)-[g(ζ)-g(b)]f′(ζ)=0.
化简就是[f(a)-f(ζ)]/[g(ζ)-g(b)]=f′(ζ)/g′(ζ).
故ζ就是题目中所要求的c,所以存在这样一点.

回答2：

构造
F(x)=f(a)g(x)+g(b)f(x)-f(x)g(x)，
有
F(a)=f(a)g(b)=F(b)，
所以存在ξ∈(a,b)，使得
F'(ξ)=0，
这个式子整理一下就是你要证的式子了。
构造这个函数的思路是把题目里的式子交叉相乘相减，把ξ换成x再积分。

回答3：

明崇祯年间，京城举行武状元殿试。主考夏宗昌的外甥袁少云不顾规矩，杀死考生杨洪。夏宗昌反令订立生死状。