第1：如果|f(z)|是常数，那么 又因为f解析，所以 代入第二个等式得到 得到关于u和v的线性方程组 相应的系数行列式为 根据克拉默法则，如果行列式不为0，那么u和v只有0解，此时f（z）是常数。如果行列式为0，那么ux=0，vx=0，根据柯西黎曼条件得到uy=0，vy=0，所以f（z）也是常数。如果arg f(z)是常数，那么 其中实函数R(x,y)非负。（因为表示f(z)的模）那么 因为f（z）解析，所以 这是关于Rx和Ry的线性方程组，其中系数行列式为 所以Rx和Ry只有零解，所以R是常数，所以f(z)=Re^iθ是常数。证毕。第2题：因为f(z)解析，所以u和v可微，对u(x,y)=C1两边同时取微分得到 所以向量(ux,uy)是曲线u(x,y)=C1上点(x,y)处的法向量。同理向量(vx,vy)是曲线v(x,y)=C1上点(x,y)处的法向量。那么 其中箭头处利用了柯西-黎曼方程。因为法向量互相垂直，所以切向量也必定互相垂直，因此两曲线正交。（对任何C1和C2成立，所以两曲线族正交）第3题：奇点对应分母的零点：z=±1.所以解析区域是C\{1,-1}。导数为
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