线性代数里，P逆AP一定等于A的特征值构成的对角阵吗？

即便a是实对称阵,
p也不一定为正交阵,
只不过是可以取为正交阵,
一般矩阵更是如此.
从p的构造方法可以理解,
这个问题有三个层面.
1.
正交基不一定是标准正交基.
p是以a的特征向量为列向量的矩阵,
只有当列向量构成一组标准正交基时才为正交阵.
但是特征向量乘以非零常数仍为特征向量,
一般来说特征向量未必是单位向量.
因此不为正交阵的情况其实才比较多.
2.
大于1维的空间的基未必是正交基
实对称阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.
但是维数大于1的特征子空间可以取不同的基,
其中的的向量未必两两正交.
当然我们总能用schmidt正交化取得一组正交基,
这是为了使p为正交阵而必要的操作.
反过来说,
如果只是随意的选取特征向量,
得到的矩阵p的列向量甚至未必是两两正交的.
3.
一般矩阵的属于不同特征值的特征向量未必彼此正交.
其实这是矩阵可以用正交阵对角化的一个充要条件(前提是可对角化).
可以在实数域上正交对角化的实矩阵只有对称阵.
如果放宽限制到复数域,
要把内积相应推广,
正交阵推广为酉矩阵u*u
=
e(u*为u的转置的复共轭).
对于复矩阵a,
可以证明以下三条等价.
(1)
a可对角化,
且属于不同特征值的特征向量彼此正交(复内积意义下).
(2)
a可用酉矩阵对角化.
(3)
a为正规矩阵,
即a与a*可交换:
a*a
=
aa*.
实矩阵中的正交阵是正规矩阵的特例,
但通常通常不能在实数域上对角化.