13问答网 > 已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点f的直线交抛物线于A、B两点。

已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点f的直线交抛物线于A、B两点。

求证:以AB为直径的圆与准线相切；求证；1/|FA|+1/|FB|为定值

2025-03-01 16:25:32

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回答1：

第一问：利用抛物线定义解：设交点为A(xa,ya)、B(xb,yb)，焦点为F，A、B、C到准线x=-p/2的距离分别为da、db、dc,AB中点为C

则|AF|=|d1|,|BF|=|d2|，dc=(da+db)/2=|AB|/2=r∴问题得证

第二问:1/|FA|+1/|FB|=|FA|+|FB|/|FA|·|FB|=p/|FA|·|FB|

y^2=2px ① =>k^2x^2-(k^2p+2p)x+k^2p^2/4=0
y=k(x-p/2)②
xa·xb=p^2/4
∴1/|FA|+1/|FB|=4/p