质数
就是在所有比1大的
整数
中，除了1和它本身以外，不再有别的
约数
，这种整数叫做质数或素数。还可以说成质数只有1和它本身两个约数。这终规只是文字上的解释而已。能不能有一个
代数式
，规定用
字母
表示的那个数为规定的任何值时，所代入的
代数式的值
都是质数呢？
1
质数的概念
所谓质数或称素数，就是一个
正整数
，除了本身和
1
以外并没有任何其他
因子
。例如
2，3，5，7
是质数，而
4，6，8，9
则不是，后者称为合成数。从这个
观点
可将整数分为两种，一种叫质数，一种叫合成数。（有人认为数目字
1
不该称为质数）著名的高斯「唯一分解
定理
」说，任何一个整数。可以写成一串质数相乘的积。
质数的奥秘
质数的分布是没有
规律
的，往往让人莫名其妙。如：101、401、601、701都是质数，但上下面的301（7*43）和901（17*53）却是合数。
有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。这个
式子
一直到n=39时，都是成立的。但n=40时，其式子就不成立了，因为40^2+40+41=1681=41*41。
质数的性质
被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。但是，就是在F5上出了问题！费尔马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=4294967297=641*6700417，并非质数，而是合数。
更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于
平方
开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其
位数
多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑！
质数的
假设
17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1代数式，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。
p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。
还剩下p=67、127、257三个
梅森数
，由于太大，长期
没有人
去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721*761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。
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