等差数列求和公式

题目转化：数列{An=nn}，求Sn_{nn}（表示数列{nn}的前n项和)
方法一：
(n-1)^3=n^3-3nn+3n-1
或:用立方差公式：
n^3-(n-1)^3=nn-n(n-1)+(n-1)^2
殊途同归，得到
n^3-(n-1)^3=3nn-3n+1
。。。同理
2^3-1=3*2*2-3*2+1
1^3-0=3*1*1-3*1+1
累加得：
n^3=3Sn-3n(n+1)/2+n
化简：
2(nnn)-2n=6Sn-3n(n+1)=2n(n+1)(n-1)
6Sn=n(n+1)(2n-2+3)
Sn=n(n+1)(2n+1)/6

方法二：
n(n+1)=(n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1))/3
用类似上面的方法，得到
Sn_{n(n+1)}=n(n+1)(n+2)/3
又
nn=n(n+1)-n
故Sn_{nn}=n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)/2
=n(n+1)((2n+4)-3)/6
此法较为快捷。

方法三：模型法
在脑海中构建一个跳棋盘，由一个大三角形组成，每个网眼均为小三角形。
网格格点(网点)上的数字按以下布置：
1
2 2
3 3 3
。。。。
n n 。。n(共n个n)
显然所有数字之和即为所求。
将这个三角形变换成：
n
..
...
...3
n..3 2
n..3 2 1
及
n
。。
。。。
3 。。n
2 3 。。n
1 2 。。。n
再将相同位置的各数相加，
所有这些数均变为2n+1,他们共有多少个？(1+2+...n=n(n+1)/2)
他们的和为：
3*Sn=(2n+1)*n(n+1)/2
这个方法是凑巧么？未必！
想想我们计算1+2+3+...+n，不也可以变换成n+...+3+2+1么？

其他方法：
待定系数法，（拉格朗日|牛顿）插值法，差分，发生函数，从略。
将在我的以下博文中完善。
http://hi.baidu.com/wsktuuytyh/blog/item/e8798060b727add88db10d84.html