13问答网 > 已知数列{an}中，a1=3,an+1=an+2^n(n属于N^*）则数列{an}的通项公式为an=?

已知数列{an}中，a1=3,an+1=an+2^n(n属于N^*）则数列{an}的通项公式为an=?

a1=3,an+1=an+2^中n,n+1是下标大家帮帮我！

2025-02-24 08:54:46

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回答1：

an-an-1=2^n-1;
an-1-an-2=2^n-2;
......
......
a3-a2=2^2;
a2-a1=2^1;
以上各式相加左边只剩下an-a1，得：
an-a1=2^1+2^1+.....+2^n-1
=2*(2^n-1-1)/(2-1)=2^n-2
又因为a1=3，所以an=2^n-2+3=2^n+1
检验a1也符合该式，所以an=2^n+1

回答2：

解答：a[n+1]=a[n]+2^n可推出a[n+1]-a[n]=2^n
然后利用叠加法可求得a[n]=2^n+1
方法如下：
a[n]=(a[n]-a[n-1])+(a[n-1]-a[n-2])+…+(a[3]-a[2])+(a[2]-a[1])+a[1]
=2^(n-1)+2^(n-2)+…+2^2+2+3
=2(1-2^(n-1))/(1-2)+3
=2^n=1。
注意：[]里面的数字指下标