13问答网 > 如何用托勒密定理证明两角和公式 sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

如何用托勒密定理证明两角和公式 sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

2025-04-26 16:53:36

推荐回答（2个）

回答1：

作图设圆内接四边形ABCD中,
AC是直径,∠BAC=α,∠DAC=β,则∠BAD=α+β
作直径BE,连接DE,则∠BED+∠BAD=180°
sinα=BC/AC,sinβ=CD/AC
cosα=AB/AC,cosβ=AD/AC
sin(α+β)=sin∠BED=BD/BE=BD/AC
sinαcosβ+sinβcosα=(BC*AD+AB*CD)/AC²=AC*BD/AC²=BD/AC=sin(α+β)
由诱导公式得sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα。

回答2：

设圆内接四边形ABCD中,AC是直径,∠BAC=α,∠DAC=β,则∠BAD=α+β
作直径BE,连接DE,则∠BED+∠BAD=180°

sinα=BC/AC,sinβ=CD/AC

cosα=AB/AC,cosβ=AD/AC
sin(α+β)=sin∠BED=BD/BE=BD/AC
sinαcosβ+sinβcosα=(BC*AD+AB*CD)/AC²=AC*BD/AC²=BD/AC=sin(α+β)
由诱导公式得sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα