成本最小化图形分析

生产者生产某种商品的目的是为了获取利润。事实上，实行利润最大化策略又分为两个步骤：第一步是选择能够带来最大利润的产量；第二步是对前一步确定的产量实现成本最小化。只有掌握了投入与产出的关系，才能真正实现利润最大化。
一、利润最大化和成本最小化的检验分析
在经济学研究过程中，对数学经济模型的分析比较常用的是比较静态分析法和对偶分析法。
（一）一阶条件的比较静态分析法。下面我们以两种投入的模型为例来讨论利润最大化问题。设某种商品的价格为p=1，由此得到利润最大化的表达式为Maxf（x1（w1，w2），x2（w1，w2））－w1w2－w2x2，分别对其中的w1和w2求偏导数
可得出利润最大化的一阶条件。在一阶条件的基础上再分别对w1和w2求偏导数，可以得到利润最大化的二阶条件：
f11
f12f
21
f[]
22
×x1
w1x1wwx2w1
x2w
2=
10
[]
01，它说明了生产者如何随
着价格的变动来用一种投入代替另一种投入。
利用相同的方法也可以研究成本最小化问题。我们假
设投入为两种物品，
成本最小化的表达式可以表示为L（λ，x1，x2）=w1x2+w2x2－λ（f（x1（w1，w2，y），x2（w1，w2，y））－y），从中可以得到成本最小化的一阶条件，在一阶条件的基础上再对求偏导数，
可以类似的得到成本最小化的替代矩阵Dλ（w）
Dx（w[]）=
0Df（x）
Df（x）
T
λD2
f（x[]）－1
[]0
1。
（二）代数的比较静态分析法。定理一：（利润最大化弱
公理）设价格向量为pt，
产出向量为yt（pt
），其他产出向量为ys，（t，s=1，…，T），如果生产者想要使利润最大化，那么在价格为pt
时、生产者产出量为yt
时的利润水平，至少与生产者
选择其他产出水平时的利润水平是一样的，即ptyptys
（t，
s=1，…，T）。
定理二：（成本最小化弱公理）设产出向量为yt
，要素价
格向量为wt，要素水平为xt
，（t，s=1，…，T），如果生产者想要
使成本最小化，
那么在价格为wt时、生产者的投入为xt
时的成本水平，应当小于等于产出至少同样多的产品时任何其他
的投入成本，即wtxtwtxs
t，
s=1，…，T。由定理一可以知道价格变动的向量和与其相关联的净
产出变动的向量，他们的内积一定是非负的。而定理二说明的是需求向量与价格向量永远朝相反的方向发展。
（三）对偶分析法。对于某个给定的数据的集合，如果满足利润最大化弱公理或满足成本最小化弱公理，就总可以找到一种方法，通过这种方法能够看到生产者的选择是利润最大化选择还是成本最小化选择，进而可以通过构造出生产集合的外界和内界，确定某种方法真实的集合。通过分析，我们可以得到利润最大化条件下生产集合的内界YI的凸单调壳和外界YO，从而YO和YI就形成了该种方法的真实生产集合的最紧密的外界和内界。同样也可以形成成本最小化条件下生产集合的内界YI的凸单调壳和外界YO，从而YO和YI就可以形成该种方法真实生产集合的最紧密的外界和内界。
二、利润函数与成本函数（一）总成本和边际成本。边际成本从不同的角度和需
要可以有不同的解释，
其一是指每增加1单位产量时所增加的成本，直观的可以表述为生产最后一单位产量Q=6时所
花费的成本；其二是说假设要计算Q=5．5产量时的边际成本，可以先计算时的边际成本，然后再计算Q=7．5时的边际成本，最后取两个边际成本的平均值作为Q=7时的边际成本。后一种边际成本的近似值要比前一种得到的边际成本的近似值好；其三是说边际成本是产量Q发生微小变动时所引起的总成本TC的变动，即MC=
dTCdQ=limΔQ→0ΔTC
ΔQ
。这是对边际成本比较真实的一种解释。
（二）总收益和边际收益。因为在自由竞争的条件下，个别生产者的行为对市场价格是不会产生什么影响的，所以某种商品的价格对于生产者来说，在某段时间内是不会改变的。为了表示生产者的总收益和平均收益，我们设某种产品的价格为A，该商品的产量为Q，那么总收益的表达式就是TR=AQ；平均收益的表达式就是AR=
TR
Q
。从2．1中可以知道边际收益可以理解为每增加1单位产量所增加的收益，也就是总收
益曲线的斜率，所以边际效益也就是增加的1单位产量的价格A，在这里边际效益就是平均效益，但需要指出的是，这个结论并不是总成立的，因为现实中还有许多因素会对其产生影响。
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