已知函数f（x）=xlnx，g（x）=12x2+12．（Ⅰ）设F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的图象在x=1处的切线

（Ⅰ）F(x)＝f(x)+g(x)＝xlnx+

1

2

x2+

1

2

，
F′（x）=1+lnx+x，
则F（1）=1，F′（1）=2，
∴F（x）图象在x=1处的切线方程为y-1=2（x-1），
即2x-y-1=0；
（Ⅱ）令G(x)＝ef(x)?g(x)＝exlnx?

1

2

x2?

1

2

，
则G′（x）=e^xlnx（1+lnx）-x，
∴G″(x)＝exlnx(1+lnx)2+exlnx?

1

x

?1＝exlnx(1+lnx)2+e(x?1)lnx?1，
∵x-1与lnx同号，
∴（x-1）lnx≥0，
∴e^（x-1）lnx-1≥0
∴G^′′（x）＞0，
∴G′（x）在（0，+∞）单调递增，
又G′（1）=0，∴当x∈（0，1）时，G′（1）＜0；当x∈（1，+∞）时，G′（1）＞0．
∴G（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
∴G（x）_min=G（1）=0．
∴G（x）≥0，即e^f（x）≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知xx≥

1

2

x2+

1

2

，
则

(b+c)2

aa+1

+

(c+a)2

bb+1

+

(a+b)2

cc+1

≤

(b+c)2

1 2 a2+ 3 2

+

(c+a)2

1 2 b2+ 3 2

+

(a+b)2

1 2 c2+ 3 2

=2[

(b+c)2

2a2+b2+c2

+

(c+a)2

a2+2b2