（1）证明：当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根 x=-3；
当m≠0时，
∵△=（3m+1）2-12m=9m2-6m+1=（3m-1）2．
∵（3m-1）2≥0，
∴不论m为任何实数时总有两个实数根，
综上所述，不论m为任何实数时，方程 mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根；
（2）解：当m≠0时，解方程mx2+（3m+1）x+3=0得 x1=-3，x2=?
，1 m
∵方程mx2+（3m+1）x+3=0有两个不同的整数根，且m为正整数，
∴m=1；
（3）解：∵m=1，y=mx2+（3m+1）x+3，
∴y=x2+4x+3，
又∵当x1=a与x2=a+n（n≠0）时有y1=y2，
∴当x1=a时，y1=a2+4a+3，
当x2=a+n时，y2=（a+n）2+4（a+n）+3，
∴a2+4a+3=（a+n）2+4（a+n）+3，
化简得 2an+n2+4n=0，
即 n（2a+n+4）=0，
又∵n≠0，
∴2a=-n-4，
∴4a2+12an+5n2+16n+8
=（2a）2+2a?6n+5n2+16n+8
=（n+4）2+6n（-n-4）+5n2+16n+8
=24．
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