连接CG.
在△CGD与△CEB中，
⎧⎩⎨⎪⎪BE=DG∠EBC=∠GDC=90∘BC=DC，
∴△CGD≌△CEB(SAS)，
∴CG=CE，∠GCD=∠ECB，
∴∠GCE=90∘，即△GCE是等腰直角三角形。
又∵CH⊥GE，
∴CH=EH=GH.
过点H作AB、BC的垂线,垂足分别为点M、N,则∠MHN=90∘，
又∵∠EHC=90∘，
∴∠1=∠2，
∴∠HEM=∠HCN.
在△HEM与△HCN中，
⎧⎩⎨⎪⎪∠1=∠2EH=CH∠HEM=∠HCN，
∴△HEM≌△HCN(ASA).
∴HM=HN，
∴四边形MBNH为正方形。
∵BH=8，
∴BN=HN=42√，
∵tan∠FCB=HNCN=2，
∴CN=22√.
在Rt△HCN中,CH=HN2+CN2−−−−−−−−−−√=210−−√.
∴GH=CH=210−−√.
∵HM∥AG，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3.
又∵∠HNC=∠GHF=90∘，
∴Rt△HCN∽Rt△GFH.
∴CHFG=HNGH,即210−−√FG=42√210−−√，
∴FG=52√.
故答案为：52√.
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