13问答网 > 已知以下三个方程有公共根：ax눀+bx+c=0,bx눀+cx+a=0,cx눀+ax+b=0.

已知以下三个方程有公共根：ax눀+bx+c=0,bx눀+cx+a=0,cx눀+ax+b=0.

2025-02-25 15:25:02

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回答1：

解：将三个方程相加，整理得
(a+b+c)x²+(a+b+c)x+(a+b+c)=0
(a+b+c)(x²+x+1)=0
由于x²+x+1=(x+1/2)²+3/4>0，所以只能是
a+b+c=0
所以
(a³+b³+c³)/abc
=[(a³+b³+c³-3abc)+3abc]/abc
=(a³+b³+c³-3abc)/abc+3
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)/abc+3
=0+3
=3

关于：
a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)

回答2：

将三个式子叠加即可得出第一问
公共根为1
其余分别为c/a，a/b，b/c
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
所以原式为3