第7届小学“希望杯”全国数学邀请赛培训题
所体现的数学思想和方法
1.（1998+1999+2000+……+2007+2008）÷2003
括号内是一个等差数列，一共是十一个数，并且差数是1，那么数列的第6个数字就是数列的平均数，总和等于2003×11÷2003=11.
2如果a是1~9这九个数字当中的某一个，那么a+aa+aaa+……+aaaaaa是a的多少倍？
将上面的式子利用十进制的原理进行重组，a+(10a+a)+(100a+10a+a)+(1000a+100a+10a+a)+(10000a+1000a+100a+10a+a)+(100000a+10000a+1000a+100a+10a+a)=100000a+20000a+3000a+400a+50a+6a=123456a,所以总和是a的123456倍。或者换个角度假设a=2,计算出总和，再计算是2的多少倍？其他数字也可能得到相同的结果。
3一个分数的分子减少25%，而分母增加25%，那么新分数比原来的分数减少百分之几？
利用设未知数的方法学生理解较困难，可以使用假设数据的方法进行探究。假设原来的分数是4/16（任意假设的数据），按照题目的要求将分子减少25%，分子变成3，分母变成20，现在的分数比原来的分数增加了20%。换其他数据结果相同，使用假设数据的方法非常接近学生的思维水平，对于一些较难的选择或判断就可以采取这样的方法，多假设几个不同范围的数据主动探究，发现规律。
4.两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数90，求另一个数是多少？
思维的方法很多，选取普通学生常用的尝试检验法，因为两个数的最大公约数是30，所以两个数字都是30的倍数，当另一个数字是30是，两个数字的最小公倍数是90不符合题意，当另一个数字是60时，两个数字的最大公约数是30，最小公倍数是180.所以两一个数字是60.对于研究能力较强的学生，在五年级就知道两个数字的最小公倍数和最大公约数的成绩是等于这两个数字的积，也就是说原来两个数字的积等于180×30=5400，所以另一个数字是5400÷90=60.
5若A÷2009=2008……B,要使余数B最大，则被除数A=（
）
这是一个有余数的除法，余数一定要比除数小，所以余数最大2008，然后根据被除数=商×除数+余数，计算出被除数A=4036080
6若P和Q都是质数，且35P+13Q=135，那么P和Q各是多少？
根据P和Q都是质数，且35P+13Q=135，因为35和13都是奇数，和135也是奇数，那么35P和13Q两个乘积当中必定有一个为偶数，一个为奇数。P和Q都是质数，当中一定有一个等于质数2。尝试：当P=2时，Q=5符合题意。如果Q=2，P没有整数解。所以答案是唯一的，P=2, Q=5.
7.2008可以表示成3个质数的和的形式，则这三个质数分别是多少？（写出一种即可）
三个质数的和是2008，那么三个质数当中有一个质数等于2，那么另外两个质数的和是2006。，可以选择3和2003.或者7和1999等。
（8）已知A÷B÷C=6,A÷B-C=15.A-B=17则A+B+C=(
).A×B×C=(
)
乍看去好像是一个复杂的解方程组的题目，其实不然，利用加减乘除法各部分之间的关系就可以了。根据A÷B÷C=6可以知道A÷B=6C，结合算式A÷B-C=15，可以得出C=3; 重新考虑A÷B=6C，得出A是B的18倍，再根据A-B=17，使用差倍问题的方法解决，得出B=1,那么A=18。剩下的求三数之和或积就可以解决了，和是22，积是54.
（9）观察下面的算式，找出规律：1×3=3，3×5=15，15×7=105，105×9=945那么按照规律第5道算式是（
）。
观察并分析规律乘数依次是3、5、7、9……，那么第5个算式的乘数就是11，被乘数分别使用上个算式的乘积结果，那么推理出第5个算式的被乘数是945，所以题目要求的算式是945×11=10395
（10）现有1分、2分、5分及1角的硬币各1枚，用它们可以组成币值的种数有（
）种。
用分类思考的方法：只使用一个硬币的币值1分、2分、5分、1角四种，使用两枚硬币的币值：3分，6分，1角1分；7分，1角2分；1角5分这样的六种。使用3枚硬币的币值8分、1角3分、1角6分；1角7分这样的4种。使用4枚硬币的币值就是1角8分，所以币值的种数一共是4+6+4+1=15种。
当然每届的赛前培训的试题100道之多，当中体现了很多的数学思想和解决问题的办法，只要平时善于引导学生认真观察，大胆猜测，仔细验证，积极探究的习惯，能够综合利用所学习的知识，我们的学生就可以解决当中相当一部分题目。
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