由Euler公式：e^(iα)=cosα+isinαe^(iβ)=cosβ+isinβ上述两式相乘左边：[e^(iα)][e^(iβ)]=e^[i(α+β)]=cos(α+β)+isin(α+β)右边：(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=(cosαcosβ-sinαsinβ)+i(cosαsinβ+sinαcosβ)根据复数相等的性质，实部等于实部，虚部等于虚部；可得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ再根据正弦函数余弦函数的奇偶性将β换成-β可得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
由上述公式，还可以得到cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβcos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβsin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ令θ=α+β，ψ=α-β；则α=(θ+ψ)/2，β=(θ-ψ)/2作替换可得cosθ+cosψ=2cos[(θ+ψ)/2]cos[(θ-ψ)/2]cosψ-cosθ=2sin[(θ+ψ)/2]sin[(θ-ψ)/2]sinθ+sinψ=2sin[(θ-ψ)/2]cos[(θ-ψ)/2]
sin
α+sin
β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
因为
sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β，
sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin
αcos
β，
设
α+β=θ，α-β=φ
那么
α=(θ+φ)/2,
β=（θ-φ）/2
把α，β的值代入，即得
sin
θ+sin
φ=2sin(θ+φ)/2
cos(θ-φ）/2
[编辑本段]正切的和差化积
tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）
cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边
∴等式成立
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