单项式、多项式、整式三者之间的区别和关系分别是什么？

在初一数学中，整式、单项式及多项式是重要的知识点，在解题过程中经常涉及。那么，什么是单项式？什么是多项式？什么是整式？三者之间又是什么关系呢？只要搞清楚这四个问题，我们也就掌握了这些概念。

概念是判断的唯一标准，如果概念搞不懂，或者一知半解，或者似懂非懂，那么做起题来就会没有头绪，甚至无从下手。接下来，我们就要把单项式、多项式、整式及三者之间的关系讲透了，把它们真实的样子还原出来，让你们看得清清楚楚、明明白白，再也不是雾里看花哈……

数与字母的乘积，这样的代数式就是单项式。其中，单独一个数字或单独一个字母也是单项式。

这条定义虽然看上去讲得已经很清楚了，但是不细分析的话，也是让人一头雾水的。那么，咱们就把这条定义里的关键点提取出来，细细地剖析一下：

1、单项式里的对象是数字与字母：

从定义中不难看出，在单项式中要么只有数字，比如36、1.2、1/6（六分之一）、兀（圆周率）、36兀……等这些都是单项式；要么只有字母，比如a、b、c 、abc……等这些都是单项式；要么既有数字又有字母，比如36a、1.2abc……等这些都是单项式。也就是说，单项式的参与对象是数字、或字母、或数字与字母。

数字，包括整数、分数和小数。值得强调一点是，既然包括小数。当然也就包括无理数了。因为小数包括无限不循环小数，无限不循环小数就是无理数。比如我们说的圆周率“兀”就是无理数，因为单项式的参与对象也包括无理数，所以像"3兀b"之类也是单项式。

2、单项式里只有一种运算符号，那就是乘号：

我们都学过代数式的概念，再结合单项式的概念，不难看出，单项式也是代数式里的一种。我们也知道，代数式的概念里强调的是运算符号，也就是说只要是运算符号，其它条件也满足的话，那就是代数式。

而单项式里强调的是运算符号里的一种，即乘法运算符号。也就是说，在单项式里有且只有乘法这种运算符号，单项式里只有乘积这种关系！

判断下面的代数式是不是单项式，为什么？

很显然，这四道题全不是，因为在这四个代数式里不是只有乘积关系，还有别的关系，所以不是。

重点：单项式的字母绝对不能作分母，也就是说，只要是分母上有字母的，那肯定不是单项式。

3、特殊的单项式：

如果出现这样的题，估计很多朋友都是蒙的。其实很简单，只要记住一条就行，那就是“单项式的绝对值依然是单项式！”就这么简单。

那么，下面的几道题是不是单项式呢？为什么？

正确的答案将在下一节课里公布~

4、单项式的系数：

在单项式里，有一个部位的名称叫做系数。

因为单项式是乘积关系，所以关系方都叫因数。比如3a这个单项式中，3和a都是因数。其中，数字因素就叫做单项式的系数。因此，3就是3a这个单项式的系数。再比如：-8ab，在这个单项式中，-8是系数。

关于系数的重点：

a、在包含数字的单项式中，数字部分就是该单项式的系数，数字部分原先的正负号也是系数的一部分。

b、在没有数字的单项式中，该单项式中的系数要么是“1”要么是“-1”，是“1”还是“-1”，主要取决于该单项式的正负。比如“ab”这个单项式的系数为1；再如“-bc"这个单项式的系数就是“-1”

c、在只有数字的单项式中，它的系数就是数字和它本身的正或负符号。

如果上面的这些题目明白了的话，那么，再给大家出几道题，看看大家对单项式的系数到底理解透没有哈：

关于这几道题目的答案我们留在下一节课讲解~

5、单项式的次数：

在单项式中，有一个部位的名称叫做次数。

其实，单项式里的次数很好理解，那就是一个单项式中"所有字母的指数和".

那么，这句话怎么理解呢？也就是说单项式的次数只跟字母有关系，与数字因素没有半点关系的。单项式的次数不是某个字母的指数，而是这个单项式里所有字母的指数和。不管字母在单项式中什么位置，只要是字母，有一个算一个，它们的指数和就是单项式的次数。

强调两点：

a、单项式的次数只跟字母有关系，与数字没有关系。比如上面的第一道题，虽然6上面也有指数3，但讲算该单项式的次数时，数字上面的指数是不参与的。

b、一个单独非0数的次数，就是0。这一条记住就行了。如上面的第二道题，8的次数就是“0”

看到这里，相信大家已经对单项式都了如指掌了。

6、单项式的分类：

根据单项式的概念，单项式可以分为五类

a、单独一个数字，是单项式；比如88、圆周率兀、3.33......可以是有理数，也可以是 无理数；

b、数字与数字之间的乘积，是单项式；比如3x8x6，是单项式。

c、单独一个字母，是单项式；比如a、b、c......

d、字母与字母之间的乘积，是单项式；比如abc、bd......

e、数字与字母之间的乘积，是单项式；比如3a、2cf......

其实，理解了单项式，那么多项式就更好理解了。

几个单项式的和就叫做多项式。是不是很好理解哈。

从多项式的概念中不难看出，多项式是由单项式组成的，多项式中的单项式之间的关系是“和”的关系。

概念是判断的唯一标准。那么，我们拿着单项式和多项式的概念，对图中的3a和3+a进行区分：

3a表示的是一个数字与一个字母的乘积，符合单项式的概念，显然3a就是个单项式。而3+b中呢，单独的一个数字3是单项式，单独的一个字母b是单项式，加号“+”表示这两个单项式的关系是“和”关系，所以满足多项式的概念，所以3+b是个多项式。

在多项式中，有几个定义需要我们搞清楚：

1、多项式的项：

在多项式中，每个单项式都叫做多项式的项。比如3+a这个多项式中，3和a都叫做该多项式的项。

2、多项式的次数：

多项式的次数，就是多项式中次数最高的单项式的次数。换句话说，多项式的次数是由多项式中次数最高的单项式决定的。只要理解了单项式的次数，多项式的次数就很好理解了。比如3ab+6d这个多项式的次数就是“2”，因为在这个多项式中，单项式3ab的次数最高，是2，同时它也是多项式的次数。

3、多项式的项数：

这个就更好理解了。就是多项式中有几个单项式，那就是多项式的项数。比如这个多项式6+ab+c，因为该多项式中有3个单项式，所以它的项数是3.

多项式就讲到这里，为了让大家更好地理解多项式的概念，我们出几道题，如下图所示。有兴趣的话可以做一做。我们将在下一课中公布答案~

如果我们理解了单项式和多项式的话，那么整式就更好理解了。因为，整式就是单项式和多项式的统称。

1、单项式、多项式、整式三者之间的关系：

单项式是由数和字母的乘积组成，多项式是由单项式组成，整式是单项式和多项式的统称。

2、整式与代数式之间的关系：

代数式包括整式，整式是代数式里的一部分。因为整式是单项式和多项式的统称，所以单项式和多项式也是代数式。

3、整式与有理式之间的关系：

有理式包括整式，整式是有理式中的一部分。有理式是整式和分式的统称。因为整式是单项式和多项式的统称，所以单项式和多项式也是有理式。

4、整式与分式之间的区别：

正如上图所示，整式的分母上不能有字母，而分式的分母上有字母。整式与分式之间的本质区别就是字母的位置。在有理式的条件下，字母出现在分母上的就是分式，字母没有出现在分母上的就是整式。

5、有理式和无理式之间的区别：

有理式和无理式之间的区别，也是在于字母出现的位置。在代数式的条件下，如果字母出现在了根号里，那就是无理式，除此之外就是有理式。

6、有理式、无理式与代数式之间的关系：

代数式是有理式和无理式的统称。各式之间的关系如下图所示：

多项式由单项式组成，是单项式的和。整式是单项式和多项式的统称。单项式是数字和字母的积。

整式包含了单项式和多项式。单项式是最简单的，多项式难一点不过也是很基础的，学好多项式了才能让自己的整式理解更透彻。

多项式是由若干个单项式组成；单项式和多项式都是整式；单项式是整式,但整式不一定是单项式；多项式是整式,但整式不一定是多项式。