已知sin(θ+π⼀4)=1⼀3,θ属于(π⼀2,π),求sinθ

sin(θ+π/4)=1/3
sinθcosπ/4+cosθsinπ/4=1/3
√2/2(sinθ+cosθ)=1/3
cosθ=√2/3-sinθ
两边平方
cos²θ=1-sin²θ=2/9-2√2/3sinθ+sin²θ
sin²θ-√2/3sinθ-7/18=0
sinθ=(√2/3±4/3)/2
θ在第二象限
sinθ>0
所以sinθ=(√2+4)/6

解：当30°<θ<90°时，sinθ属于(1/2,1),cosθ属于(0,根号3/2)
所以x*sinθ+(2-cosθ)y+1>0等价于x>[-1+(cosθ-2)y]/sinθ
根据题设，得：当30°<θ<90°时，x>[-1+(cosθ-2)y]/sinθ 对于y属于
(-1,1)恒成立，设t(y)=[-1+(cosθ-2)y]/sinθ=[(cosθ-2)/sinθ]y-(1/sinθ)
由θ的正余弦的范围得：(cosθ-2)/sinθ<0,所以
函数t(y)为减函数，所以t(y)的上界为
t(-1)=-[(cosθ-2)/sinθ]-(1/sinθ)，由x>t(y)，得：
x>=t(-1)=-[(cosθ-2)/sinθ]-(1/sinθ)=(1-cosθ)/sinθ=tan(θ/2)，对于任何30°<θ<90°，所以x>=tan(90°/2)=1
综上，x的范围是[1，正无穷大)

sin(θ+π/4)=sinθcos(π/4)+sin(π/4)cosθ
∴1/3=√2/2(sinθ+cosθ)
又sin^2θ+cos^2θ=1
∴解得sinθ=(2√2+8)/12或(2√2-8)/12
又θ∈(π/2,π)，∴sinθ=(2√2-8)/12舍去
∴sinθ=(2√2+8)/12