拉格朗日余项与佩亚诺余项到底有什么差别？应分别什么情况下使用？有什么限制范围？

1、泰勒展开公式中一共有5种余项，Peano,Schlomilch-Roche,Lagrange.Cauchy,积分余项。

2、其中拉格朗日余项使用的是具体表达式，为某个n+1阶导数乘以（x-x0)的(n+1)次方
Peano余项没有具体表达式只是一个高阶无穷小 Rn(x)=0((x-x0)的n次方)

3、实质上两种情形均可以使用，那种方便就用那种了。

扩展资料:

定理表述

如果函数f(x)满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导；

那么在开区间(a,b)内至少有一点

使等式

成立。

其他形式

即，

令，

则有，

上式称为有限增量公式。

我们知道函数的微分

是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。

参考资料:百度百科-拉格朗日中值定理

拉格朗日余项和佩亚诺余项的差别是：

带拉格朗日余项的泰勒公式是描述整体
带佩亚诺余项的泰勒公式描述局部

在是函数和各阶导数的关系时两者都可以使用，如果函数次数较低的话，用拉格朗日余项；函数次数较高的话用佩亚诺余项。无限制范围。

佩亚诺余项的意义在于x趋近于0时，满足拉格朗日余项是前者的高阶无穷小量。如果函数的次数较低且x不是在0的小领域内讨论的话，则并不很适合用带佩亚诺余项的麦克劳林公式。

扩展资料：

拉格朗日余项和佩亚诺余项都属于泰勒展开式里的一种情况。

泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

4、证明不等式。

5、求待定式的极限。

参考资料来源：百度百科-泰勒公式

泰勒展开公式中一共有5种余项，Peano,Schlomilch-Roche,Lagrange.Cauchy,积分余项。
其中拉格朗日余项使用的是具体表达式，为某个n+1阶导数乘以（x-x0)的(n+1)次方
Peano余项没有具体表达式只是一个高阶无穷小 Rn(x)=0((x-x0)的n次方)

实质上两种情形均可以使用，那种方便就用那种了。