一道高中数学题

1.既然圆A与直线相切，其半径等于到直线的距离

有点到直线距离公式得半径为2倍根5

所以方程为(x+1)^2+(y-2)^2=20

2.这是已知弦长。

过A向l做垂线垂足为D，易得D为MN中点。

所以考察直角三角形三角形AMD，斜边长r=2倍根5

直角边MD=0.5MN=根19

勾股定理得AD=1，即A到直线l的距离为1

又由于l过点B（-2，0）

设点斜式：y=k(x+2)

即kx-y+2k=0，点（-1，2）到该直线的距离为1

代入距离公式，整理得

k^2-4k+4=k^2+1

k=3/4

所以l：y-3/4(x+2)

即3x-4y+6=0

3.是定值，且为-5

这需要图来解释一下

如图，设切点为C

易求得AC方程为y=2x+4

正好B也在该直线上，所以ABC三点共线

然后l绕B旋转。

当l平行于l1时没有PQ，不成立

当有P Q时

由题意得PBQ三点共线且PQ在B的异侧

所以BQ向量·BP向量就等于-|BQ||BP|

设AC与l的夹角（锐角）为α……表不出来了，想象一下

则易的直角三角形ABQ中BQ=ABcosα

直角三角形BPC中BP=BC/cosα

所以

BQ向量·BP向量=-|BQ||BP|=-|ABcosα||BC/cosα|（约去cosα）

=-|AB||BC|=-5

1.r=|-1+4+7|/√5=2√5 A:(x+1)^2+(y-2)^2=20
2.MN=2根号19 据垂径定理 即圆心到l距离为1
当k不存在时 x=-2 符合题意
当k存在时 y=k(x+2) |-k-2+2k|/√(k^2+1)=1 k=3/4
所以l:x=-2或y=3/4x +3/2
3.是定值 当l无斜率时 x=-2 此时Q(-2,2)P(-2,-2.5) BQ向量·BP向量=-5
当l有斜率时 y=k(x+2) 设M(x1,y1) N(x2,y2) Q(x0,y0) P(x3,y3)
l与l1联立求解可知P( (-4k-7)/(2k+1),-5k/(2k+1) )
l与圆方程联立 得(1+k^2)x^2+(4k^2-4k+2)x+4k^2-8k+5=0
则x1+x2=-(4k^2-4k+2)/(1+k^2) y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=
k(x1+x2)+4k=(4k^2+2k)/(1+k^2) x0=(x1+x2)/2=(2k-2k^2-1)/(1+k^2)
yo=(y1+y2)/2=(2k^2+k)/(1+k^2) 所以Q( (2k-2k^2-1)/(1+k^2),(2k^2+k)/(1+k^2) ) BP向量.BQ向量- 最后一步自己算吧验证一下是否对

1) 点A到直线x+2y+7=0的距离为
d=|1*(-1)+2*2+7|/√(1+2^2)=2√5,
因为所求的圆与直线l1:x+2y+7=0相切，
所以r=d=2√5,
所以圆A的方程为[x-(-1)]^2+(y-2)^2=(2√5)^2
即(x+1)^2+(y-2)^2=20
2) 直线存在斜率时，设为y=k(x+2),
点A到MN的距离为
d'=|-k-2+2k|/√(k^2+1)=√[r^2+(√19)^2],
解得x=3/4，直线方程为y=3/4x +3/2,
直线不存在斜率时，x=-2成立,
所以，所求的直线方程为y=3/4x +3/2或x=-2