设﹛xn﹜为有界数列，并设它们全部包含在[a,b]内。如果它不存在收敛子序列，于是对[a,b]内的任
一点x0,都不可能是﹛xn﹜的某个子序列的极限。因此恒存在一个邻域O﹙x0,δ﹚除了x0可能与有限
个xn相等之外，其内不含其它的xα, 而邻域系﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]构成[a,b]一个开覆盖。由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]中选出有限个覆盖[a,b]，当然也覆盖所有﹛xn﹜.但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn，产生矛盾。因此﹛xn﹜存在收敛子列，致密性定理得证。
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