1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n(n＋1)＝_______(n为自然数)．

这个主要利用两个公式
1+2+3+.....+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n(n＋1)
＝(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+2)+...+(n^2+n)
=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+3+....+n)
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)

1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=1/4×n(n+1)(n+2)(n+3)。

解答过程如下：

1×2×3+2×3×4+3×4×5+......+n(n+1)(n+2)

=1/4【1×2×3×4-0×1×2×3】+1/4【2×3×4×5-1×2×3×4】+1/4【3×4×5×6-2×3×4×5】+......+

1/4【n(n+1)(n+2)（n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)】

=1/4×n(n+1)(n+2)(n+3)

扩展资料：

相关公式：

（1）1+2+3+.+n=n(n+1)/2

（2）1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

（3）1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n(n＋1)

＝(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+2)+...+(n^2+n)

=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+3+.+n)

=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

=n(n+1)(n+2)

This:1+2+3+.....+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n(n＋1)
＝(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+2)+...+(n^2+n)
=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+3+....+n)
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)

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