题1：这个题目有些条件多余的，其实这样解答就可以了。
三角形ABD与三角形ADC面积相等，且这2个三角形同一个高，所以他们的底相等，也就是BD=DC，所以AD也是中线，根据三线合一的定理，可以推出三角形ABC是等腰三角形。
题2：角EBD=角ABD，角BAD=角DEB，BD=BD，所以三角形ABD=三角形EBD，所以AD=DE
角ECD=角ACB，角DEC=角CAB，所以角ABC=角EDC，所以三角形DEC和三角形BAC相似
因为AB=AC，所以DE=EC
综上所述，AD=CE得证。
我来回答你的第一个问题：
证明；
因为；在三角形ABC中，DE垂直AB于E，DF垂直AC于F，且三角形ABD与三角形ADC面积相等。
所以；DE=DF
，AB=AC。
因为；AD平分角BAC。
所以；∠BAD=∠CAD.
在三角形ABD和三角形ACD中
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD是公共边
（SAS）
所以；三角形ABD全等于三角形ACD
所以；AB=AC
所以；三角形ABC是等腰三角形
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